<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\newcommand{\graphicscompanion}{\emph{The \LaTeX{} Graphics Companion}~\cite{graphicscompanion}} 
\newcommand{\hobby}{\emph{A User's Manual for MetaPost}~\cite{metapost}}
\newcommand{\hoenig}{\emph{\TeX{} Unbound}~\cite{unbound}}
\newcommand{\graphicsinlatex}{\emph{Graphics in \LaTeXe{}}~\cite{ursoswald}}

\chapter{Priprava matematiÄnih slik}
\label{chap:graphics}

\begin{intro}
VeÄina uporabnikov z \LaTeX{}om ureja besedila. ÄŒeprav \LaTeX{}ov pristop
k urejanju besedil poudarja strukturo pred vsebino, \LaTeX{} vseeno 
ponuja nekaj zelo omejenih moÅ¾nosti za prikaz grafiÄnih 
vsebin, ki jih opiÅ¡emo z ukazi v vhodni datoteki. Obstaja veliko
razÅ¡iritev \LaTeX{}a, ki premostijo te omejitve in omogoÄajo Å¡e
laÅ¾jo pripravo slik. Nekaj jih bomo predstavili v tem poglavju.
\end{intro}

\section{Kratki pregled}

V okolju \ei{picture} lahko slike programiramo direktno v \LaTeX{}u. Podroben
opis lahko poiÅ¡Äete v  \manual. Na eni strani smo v tem okolju 
zelo omejeni z nekaterimi pogoji, tako so npr.~nakloni daljic in 
polmeri krogov omejeni na majhen izbor moÅ¾nih vrednosti.  
Na drugi strani pa imamo v okolju \ei{picture} v \LaTeXe\ na voljo ukaz
\ci{qbezier} za B\'ezierove krivulje, kjer "&gt;\texttt{q}"&lt; pomeni 
"&lt;kvadratna"&lt; (quadratic)"&lt;.  Å&nbsp;tevilne pogosto uporabljene
krivulje kot so krogi, elipse, veriÅ¾nice in ostale, se da dovolj 
dobro aproksimirati s kvadratnimi B\'ezierovimi krivuljami, res pa je, da
za to vÄasih potrebujemo malo raÄunanja. Za pripravo
slik iz ukazov \ci{qbezier} lahko uporabimo tudi programski jezik kot je 
npr.~Java in v tem primeu postane okolje \ei{picture} zelo zmogljivo.

ÄŒeprav je zapisovanje slike direktno v \LaTeX{} dokaj omejeno in dostikrat
tudi zelo utrudljivo, Å¡e vedno obstajajo razlogi, da se slik 
lotimo na ta naÄin. Tako dobljeni dokumenti zavzamejo manj spomina kot Äe
vkljuÄujemo zunanje slike, pa Å¡e nobenih dodatnih datotek s slikami ne
potrebujemo.

Paketi kot so \pai{epic}, \pai{eepic} 
(ta dva sta med drugim opisana v \companion) in 
\pai{pstricks} odpravljajo omejitve originalnega okolja
\ei{picture} in moÄno poveÄajo grafiÄne sposobnosti \LaTeX{}a.


Med tem ko prva dva prej omenjena paketa le razÅ¡irita okolje
\ei{picture}, ima paket \pai{pstricks} svoje okolje \ei{pspicture}. 
MoÄ paketa \pai{pstricks} izvira iz dejstva, da se v paketu v veliki 
meri uporabljajo moÅ¾nosti, ki jih ponuja \PSi{}.
Poleg tega obstajajo Å¡e Å¡tevilni paketi za posebne potrebe. En izmed
teh je 
\texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic, ki ga bomo predstavili na koncu tega poglavja.
Å&nbsp;irok izbor teh paketov je podrobno predstavljen v \graphicscompanion{} 
(ne zamenjujte z \companion).


NajmoÄnejÅ¡e grafiÄno orodje, povezano z \LaTeX{}om, je najbrÅ¾
\texttt{MetaPost}, dvojÄek 
Donald E. Knuthovega orodja \texttt{METAFONT}. 
\texttt{MetaPost} vsebuje zelo zmogljiv in matematiÄno prefinjen 
programski jezik tako kot \texttt{METAFONT}. Razlika je, da \texttt{METAFONT}
generira bitne slike, \texttt{MetaPost} pa generira slike v formatu 
Encapsulated \PSi{}, ki jih lahko vkljuÄimo v \LaTeX. Za uvod v 
\texttt{MetaPost} poglejte \hobby{} ali navodila na \cite{ursoswald}.

Zelo temeljito razpravo o strategijah za vkljuÄevanje slik (in
pisav) v \LaTeX{} in \TeX{} lahko najdete v \hoenig.

\section{Okolje \texttt{picture}}
\secby{Urs Oswald}{osurs@bluewin.ch}

\subsection{Osnovni ukazi}

Okolje \ei{picture}\footnote{ÄŒe verjamete ali ne, okolje picture
deluje v povsem navadnem \LaTeXe{} in zanj ni potrebno 
naloÅ¾iti nobenega paketa.} vkljuÄimo z enim izmed
naslednjih dveh ukazom
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
\noindent ali
\begin{lscommand}
\ci{begin}\verb|{picture}(|$x,y$\verb|)(|$x_0,y_0$\verb|)|\ldots\ci{end}\verb|{picture}|
\end{lscommand}
Å&nbsp;tevila $x,\,y,\,x_0,\,y_0$ se nanaÅ¡ajo na koliÄino \ci{unitlength}, ki jo lahko
spremenimo kadarkoli
(a ne znotraj okolja \ei{picture}) z ukazom v stilu
\begin{lscommand}
\ci{setlength}\verb|{|\ci{unitlength}\verb|}{1.2cm}|
\end{lscommand}
Privzeta vrednost za \ci{unitlength} je \texttt{1pt}. Prvi par, $(x,y)$, pove, koliko pravokotnega prostora znotraj dokumenta je potrebno rezervirati za sliko,
neobvezni drugi par, $(x_0,y_0)$, pa nastavi te koordinate v spodnji levi kot rezerviranega pravokotnika. 

VeÄina ukazov za risanje ima eno izmed naslednjih dve oblik
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\emph{object}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent ali
\begin{lscommand}
\ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{object}\verb|}|\end{lscommand}
Izjema so B\'ezierove krivulje, ki jih nariÅ¡emo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{qbezier}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|)(|$x_2,y_2$\verb|)(|$x_3,y_3$\verb|)|
\end{lscommand}
%\newpage

\subsection{Daljice}
\begin{example}
\setlength{\unitlength}{5cm}
\begin{picture}(1,1)
  \put(0,0){\line(0,1){1}}
  \put(0,0){\line(1,0){1}}  
  \put(0,0){\line(1,1){1}}  
  \put(0,0){\line(1,2){.5}}
  \put(0,0){\line(1,3){.3333}}
  \put(0,0){\line(1,4){.25}}  
  \put(0,0){\line(1,5){.2}}
  \put(0,0){\line(1,6){.1667}}
  \put(0,0){\line(2,1){1}}
  \put(0,0){\line(2,3){.6667}}
  \put(0,0){\line(2,5){.4}}
  \put(0,0){\line(3,1){1}}  
  \put(0,0){\line(3,2){1}}
  \put(0,0){\line(3,4){.75}}
  \put(0,0){\line(3,5){.6}}
  \put(0,0){\line(4,1){1}}
  \put(0,0){\line(4,3){1}}  
  \put(0,0){\line(4,5){.8}}
  \put(0,0){\line(5,1){1}}
  \put(0,0){\line(5,2){1}}
  \put(0,0){\line(5,3){1}}
  \put(0,0){\line(5,4){1}}
  \put(0,0){\line(5,6){.8333}}
  \put(0,0){\line(6,1){1}}
  \put(0,0){\line(6,5){1}}
\end{picture}
\end{example}
Daljico nariÅ¡emo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{line}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Ukaz \ci{line} ima dva argumenta:
\begin{enumerate}
  \item smerni vektor,
  \item dolÅ¾ino.
\end{enumerate}
Vrednosti komponent v smernem vektorju so omejene 
na cela Å¡tevila
\[
  -6,\,-5,\,\ldots,\,5,\,6,
\]
komponenti pa morata biti tuji Å¡tevili (razen 1 nimata nobenega skupnega delitelja). Na sliki je predstavljenih vseh 25 moÅ¾nih naklonov v prvem kvadrantu. DolÅ¾ina je podana relativno glede na \ci{unitlength}.
V primeru navpiÄne daljice kot dolÅ¾ino podamo navpiÄno koordinato, v vseh drugih pa vodoravno koordinato konca daljice.

\subsection{PuÅ¡Äice}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.75mm}
\begin{picture}(60,40)
  \put(30,20){\vector(1,0){30}}
  \put(30,20){\vector(4,1){20}}
  \put(30,20){\vector(3,1){25}}
  \put(30,20){\vector(2,1){30}}
  \put(30,20){\vector(1,2){10}}
  \thicklines
  \put(30,20){\vector(-4,1){30}}
  \put(30,20){\vector(-1,4){5}}
  \thinlines
  \put(30,20){\vector(-1,-1){5}}
  \put(30,20){\vector(-1,-4){5}}
\end{picture}
\end{example}
PuÅ¡Äico nariÅ¡emo z ukazom
\begin{lscommand}
\ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{vector}\verb|(|$x_1,y_1$\verb|){|$length$\verb|}}|
\end{lscommand}
Pri puÅ¡Äicah so komponente smernega vektorja
Å¡e bolj omejene kot pri daljicah, saj jih lahko izbiramo le
med celimi Å¡tevili
\[
  -4,\,-3,\,\ldots,\,3,\,4.
\]
Tako kot pri daljicah morata komponenti biti tuji Å¡tevili.
Bodite pozorni na vpliv ukaza 
\ci{thicklines} na dve puÅ¡Äici, ki kaÅ¾eta v zgornji levi kot.

\subsection{KroÅ¾nice}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(60, 40)
  \put(20,30){\circle{1}}
  \put(20,30){\circle{2}}
  \put(20,30){\circle{4}}
  \put(20,30){\circle{8}}
  \put(20,30){\circle{16}}
  \put(20,30){\circle{32}}
  
  \put(40,30){\circle{1}}
  \put(40,30){\circle{2}}
  \put(40,30){\circle{3}}
  \put(40,30){\circle{4}}
  \put(40,30){\circle{5}}
  \put(40,30){\circle{6}}
  \put(40,30){\circle{7}}
  \put(40,30){\circle{8}}
  \put(40,30){\circle{9}}
  \put(40,30){\circle{10}}
  \put(40,30){\circle{11}}
  \put(40,30){\circle{12}}
  \put(40,30){\circle{13}}
  \put(40,30){\circle{14}}
  
  \put(15,10){\circle*{1}}
  \put(20,10){\circle*{2}}
  \put(25,10){\circle*{3}}
  \put(30,10){\circle*{4}}
  \put(35,10){\circle*{5}}
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{circle}\verb|{|\emph{diameter}\verb|}}|
\end{lscommand}
\noindent nariÅ¡e kroÅ¾nico s srediÅ¡Äem v toÄki $(x,y)$ in premerom \emph{diameter}. V okolju \ei{picture} lahko uporabljamo le premere do
pribliÅ¾no 14\,mm, s tem da pod to vrednostjo niso dopustni vse premeri.
Ukaz \ci{circle*} nariÅ¡e zapolnjeni krog.

Tako kot pri daljicah se moramo, Äe Å¾elimo premer, ki ni podprt, obrniti
na dodatne pakete, kot sta \pai{eepic} in \pai{pstricks}. 
Temeljit opis teh dveh paketov lahko najdete v \graphicscompanion.

Obstaja pa tudi moÅ¾nost znotraj okolja 
\ei{picture}. ÄŒe lahko opravite potrebne izraÄune (oziroma
jih prepustite ustreznemu programu), potem lahko poljubne daljice
in kroÅ¾nice sestavite iz kvadratnih B\'ezierovih krivulj. 
Poglejte \graphicsinlatex\ za primere in kode pomoÅ¾nih programov v Javi.

\subsection{Besedila in formule}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,5)
  \thicklines
  \put(1,0.5){\line(2,1){3}}
  \put(4,2){\line(-2,1){2}}
  \put(2,3){\line(-2,-5){1}}
  \put(0.7,0.3){$A$}
  \put(4.05,1.9){$B$}
  \put(1.7,2.95){$C$}
  \put(3.1,2.5){$a$}
  \put(1.3,1.7){$b$}
  \put(2.5,1.05){$c$}
  \put(0.3,4){$F=
    \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}  
  \put(3.5,0.4){$\displaystyle
    s:=\frac{a+b+c}{2}$}
\end{picture}
\end{example}
Kot prikazuje ta zgled, lahko besedilo in formule vstavimo
v okolje \ei{picture} s ukazom \ci{put} na povsem 
obiÄajni naÄin.

\subsection{\ci{multiput} in \ci{linethickness}}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{2mm}
\begin{picture}(30,20)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){26}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,1){21}%
    {\line(1,0){25}}
  \linethickness{0.15mm}    
  \multiput(0,0)(5,0){6}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,0)(0,5){5}%
    {\line(1,0){25}}
  \linethickness{0.3mm}    
  \multiput(5,0)(10,0){2}%
    {\line(0,1){20}}
  \multiput(0,5)(0,10){2}%
    {\line(1,0){25}}
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{multiput}\verb|(|$x,y$\verb|)(|$\Delta x,\Delta y$\verb|){|$n$\verb|}{|\emph{object}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent ima 4 argumente: zaÄetno toÄko, vektor premika od enega
objekta do naslednjega, Å¡tevilo objektov in objekt, ki naj se nariÅ¡e.
Ukaz \ci{linethickness} vpliva na vodoravne in navpiÄne daljice,
ne pa na poÅ¡evne daljice in kroÅ¾nice. Vpliva pa, presenetljivo, 
na kvadratne B\'ezierove krivulje!

\subsection{Ovali}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.75cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}%
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}%
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(2,3){\oval(3,1.8)} 
  \thinlines
  \put(3,2){\oval(3,1.8)} 
  \thicklines
  \put(2,1){\oval(3,1.8)[tl]} 
  \put(4,1){\oval(3,1.8)[b]} 
  \put(4,3){\oval(3,1.8)[r]} 
  \put(3,1.5){\oval(1.8,0.4)}     
\end{picture}
\end{example}
Ukaz
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)}|
\end{lscommand}
\noindent ali v obliki
\begin{lscommand} \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|){|\ci{oval}\verb|(|$w,h$\verb|)[|\emph{polozaj}\verb|]}|
\end{lscommand}
\noindent vrne oval s srediÅ¡Äem v $(x,y)$, s Å¡irino $w$ in z viÅ¡ino $h$. 
Neobvezni argument
\emph{polozaj} ima lahko vrednosti \texttt{b}, \texttt{t}, \texttt{l}, \texttt{r} ki po vrsti pomenijo zgoraj, spodaj, levo, desno, lahko pa jih
tudi kombiniramo, kot je prikazano v zgledu.

\subsection{Debelina Ärt}

Na debelino Ärt lahko vplivamo z dvema razredoma ukazov. Na eni strani je 
\ci{linethickness}\verb|{|\emph{length}\verb|}|
na drugi strani pa sta ukaza \ci{thinlines} in \ci{thicklines}.
Medtem kot \ci{linethickness}\verb|{|\emph{length}\verb|}|
vpliva le na vodoravne in navpiÄne Ärte (in na kvadratne B\'ezierove krivulje),
ukaza \ci{thinlines} in \ci{thicklines}
vplivata na poÅ¡evne Ärte, kroÅ¾nice in ovale. 


\subsection{VeÄkratna uporaba vnaprej pripravljenih Å¡katel s slikami}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(120,168)
\newsavebox{\foldera}
\savebox{\foldera}
  (40,32)[bl]{% definicija 
  \multiput(0,0)(0,28){2}
    {\line(1,0){40}}
  \multiput(0,0)(40,0){2}
    {\line(0,1){28}}
  \put(1,28){\oval(2,2)[tl]}
  \put(1,29){\line(1,0){5}}
  \put(9,29){\oval(6,6)[tl]}
  \put(9,32){\line(1,0){8}}
  \put(17,29){\oval(6,6)[tr]}
  \put(20,29){\line(1,0){19}}
  \put(39,28){\oval(2,2)[tr]}  
}
\newsavebox{\folderb}
\savebox{\folderb}
  (40,32)[l]{%         definicija
  \put(0,14){\line(1,0){8}}
  \put(8,0){\usebox{\foldera}}
}
\put(34,26){\line(0,1){102}} 
\put(14,128){\usebox{\foldera}}
\multiput(34,86)(0,-37){3}
  {\usebox{\folderb}} 
\end{picture}
\end{example}
Å&nbsp;katlo s sliko lahko \emph{napovemo} z ukazom
\begin{lscommand}
  \ci{newsavebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent potem jo \emph{definiramo} z   
\begin{lscommand}
  \ci{savebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}(|\emph{width,height}\verb|)[|\emph{position}\verb|]{|\emph{content}\verb|}|
\end{lscommand}
\noindent na koncu pa jo lahko \emph{nariÅ¡emo} kolikor krat Å¾elimo z
\begin{lscommand}
  \ci{put}\verb|(|$x,y$\verb|)|\ci{usebox}\verb|{|\emph{ime}\verb|}|
\end{lscommand}

Dodatno neobvezni parameter \emph{pozicija} definira mesto, na katerem
je referenÄna toÄka shranjene Å¡katle s sliko, oziroma mesto, kjer je 
Å¡katla "&gt;zasidrana"&lt;. V zgornjem primeru je to mesto nastavljeno na \texttt{bl} kar
postavlja mesto priveza v gornji levi kot Å¡katle. Ostale moÅ¾no
vrednosti za ta parameter so Å¡e \texttt{t} (zgoraj) in \texttt{r} (desno).

Argument \emph{ime} se nanaÅ¡a na \LaTeX{}ov pomnilnik in ima naravo
ukaza (zato v zgornjem primeru imena vsebujejo tudi poÅ¡evnice). 
Å&nbsp;katle s slikami lahko vlagamo v druge Å¡katle, v zgornjem primeru je
tako npr.~\ci{foldera} uporabljen v definiciji \ci{folderb}.

V definiciji smo morali uporabiti ukaz \ci{oval}, saj ukaz \ci{line} 
ne podpira daljic, kjer je dolÅ¾ina segmenta manjÅ¡a od 3\,mm.

\subsection{Kvadratne B\'ezierove krivulje}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)
  \linethickness{0.075mm}
  \multiput(0,0)(1,0){7}
    {\line(0,1){4}}
  \multiput(0,0)(0,1){5}
    {\line(1,0){6}}
  \thicklines
  \put(0.5,0.5){\line(1,5){0.5}}    
  \put(1,3){\line(4,1){2}} 
  \qbezier(0.5,0.5)(1,3)(3,3.5)
  \thinlines   
  \put(2.5,2){\line(2,-1){3}}
  \put(5.5,0.5){\line(-1,5){0.5}}
  \linethickness{1mm}
  \qbezier(2.5,2)(5.5,0.5)(5,3)
  \thinlines
  \qbezier(4,2)(4,3)(3,3)
  \qbezier(3,3)(2,3)(2,2)
  \qbezier(2,2)(2,1)(3,1)
  \qbezier(3,1)(4,1)(4,2)
\end{picture}
\end{example}
Kot prikazuje ta primer, ni dovolj dobro, Äe kroÅ¾nico razdelimo le
na 4 kvadratne B\'ezierove krivulje. Potrebujemo jih najmanj 8.
Na sliki vidimo tudi, kakÅ¡ne je vpliv ukazov
\ci{linethickness} na vodoravne in navpiÄne premice in kako
\ci{thinlines} in \ci{thicklines} vplivata na poÅ¡evne daljice. Vidimo
lahko tudi, da oba razreda ukazov delujeta na kvadratne B\'ezierove krivulje,
kjer vsak nov ukaz povozi prejÅ¡njega.

Naj $P_1=(x_1,\,y_1),\,P_2=(x_2,\,y_2)$ oznaÄujeta konÄni toÄki, in naj
bosta $m_1$ in $m_2$ naklona kvadratne B\'ezierove krivulje v teh toÄkah. 
Vmesna kontrolna toÄka
$S=(x,\,y)$ je potem podana z enaÄbami
\begin{equation} \label{zwischenpunkt}
  \left\{
    \begin{array}{rcl}
      x &amp; = &amp; \displaystyle \frac{m_2 x_2-m_1x_1-(y_2-y_1)}{m_2-m_1}, \\
      y &amp; = &amp; y_i+m_i(x-x_i)\qquad (i=1,\,2).
    \end{array}
  \right.
\end{equation}
\noindent Poglejte \graphicsinlatex\ za program v Javi, ki generira vrstice
s potrebnimi ukazi \ci{qbezier}.

\subsection{VeriÅ¾nica}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)
\put(-2,0){\vector(1,0){4.4}}
\put(2.45,-.05){$x$}
\put(0,0){\vector(0,1){3.2}}
\put(0,3.35){\makebox(0,0){$y$}}
\qbezier(0.0,0.0)(1.2384,0.0)
  (2.0,2.7622) 
\qbezier(0.0,0.0)(-1.2384,0.0)
  (-2.0,2.7622)
\linethickness{.075mm}
\multiput(-2,0)(1,0){5}
  {\line(0,1){3}}
\multiput(-2,0)(0,1){4}
  {\line(1,0){4}}
\linethickness{.2mm}
\put( .3,.12763){\line(1,0){.4}}
\put(.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
\put(-.7,.12763){\line(1,0){.4}}
\put(-.5,-.07237){\line(0,1){.4}}
\put(.8,.54308){\line(1,0){.4}}
\put(1,.34308){\line(0,1){.4}}
\put(-1.2,.54308){\line(1,0){.4}}
\put(-1,.34308){\line(0,1){.4}}
\put(1.3,1.35241){\line(1,0){.4}}
\put(1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
\put(-1.7,1.35241){\line(1,0){.4}}
\put(-1.5,1.15241){\line(0,1){.4}}
\put(-2.5,-0.25){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}

Na tej sliki je vsaka simetriÄna polovica grafa veriÅ¾nice $y=\cosh x -1$ 
aproksimirana s kvadratno B\'ezierovo krivuljo. 
Desna polovica krivulje se konÄa v toÄki \((2,\,2.7622)\), kjer ima
odvod vrednost \(m=3.6269\). S pomoÄjo enaÄb (\ref{zwischenpunkt}) lahko
izraÄunamo vmesne kontrolne toÄke. Za njiju se izkaÅ¾e, da sta 
 $(1.2384,\,0)$ in $(-1.2384,\,0)$. 
KriÅ¾i oznaÄujejo toÄke \emph{prave} veriÅ¾nice. Vidimo, da razlika
skoraj ni opazna in je povsod pod enim procentom.

Ta primer kaÅ¾e, kako lahko uporabljamo neobvezni argument
v ukazu \\
\verb|\begin{picture}|.
Slika je definirana v smiselnih matematiÄnih koordinatah, 
medtem ko ukaz
\begin{lscommand} 
  \ci{begin}\verb|{picture}(4.3,3.6)(-2.5,-0.25)|
\end{lscommand}
\noindent za njen spodnji levi kot (oznaÄen z Ärnim pobarvanim diskom)
privzame koordinate $(-2.5,-0.25)$. 

\subsection{Hitrost v posebni teoriji relativnosti}

\begin{example}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
  \put(2.7,-0.1){$\chi$}
  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}
    {\line(1,0){0.2}}
  \put(0.2,1.4)
    {$\beta=v/c=\tanh\chi$}
  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)
    (2,0.9640)
  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)
    (-2,-0.9640)
  \put(-3,-2){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{example}
Kontrolne toÄke dveh B\'ezierovih krivulj so bile izraÄunane s pomoÄjo
formul (\ref{zwischenpunkt}).
Pozitivna veja je doloÄena s $P_1=(0,\,0),\,m_1=1$ in $P_2=(2,\,\tanh 2),\,m_2=1/\cosh^2 2$.
Slika je definirana z matematiÄno najustreznejÅ¡imi koordinatami, potem pa 
levemu spodnjemu kotu doloÄimo koordinate $(-3,-2)$ (Ärn krog).


\section{\texorpdfstring{\Xy}{Xy}-pic}
\secby{Alberto Manuel Brand\~ao Sim\~oes}{albie@alfarrabio.di.uminho.pt}
\pai{xy} je poseben paket za risanje diagramov. Za njegovo
uporabo moramo v preambulo dokumenta dodati:
\begin{lscommand}
\verb|\usepackage[|\emph{opcije}\verb|]{xy}|
\end{lscommand}
Pri tem v \emph{opcije} navedemo seznam funkcij iz 
 \Xy-pic ki jih Å¾elimo naloÅ¾iti. Te opcije pridejo prav kadar je potrebno
iskati napake v paketu, sicer pa je najbolj priporoÄljivo 
na mestu \emph{opcije} podati \verb!all!, s Äimer povzroÄimo,
da \LaTeX{} naloÅ¾i vse ukaze iz paketa \Xy-pic.

\Xy-pic diagrami se riÅ¡ejo na podlago, ki je urejena v 
stilu matrike, pri Äemer se vsak element
diagrama zapiÅ¡e na mesto elementa matrike:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{A &amp; B \\
          C &amp; D }
\end{displaymath}
\end{example}
Ukaz \ci{xymatrix} moramo uporabiti v matematiÄnem naÄinu. V tem primeru
smo podali dve vrstici in dva stolpca. Iz te matrike dobimo diagram, ko
dodamo usmerjene povezave z ukazom \ci{ar}.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{ A \ar[r] &amp; B \ar[d] \\
           D \ar[u] &amp; C \ar[l] }
\end{displaymath}
\end{example}
Ukaz za puÅ¡Äico je potrebno postaviti na mesto tistega elementa
v matriki, od koder puÅ¡Äica izvira. Argumenti ukaza \texttt{ar} so
smeri, kamor naj kaÅ¾e puÅ¡Äica (\texttt{u} (gor),
\texttt{d} (dol), \texttt{r} (desno) in \texttt{l} (levo).

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[r] &amp; B \\
  D                       &amp; C }
\end{displaymath}
\end{example}
Diagonalne puÅ¡Äice dobimo tako, da uporabimo veÄ kot eno Ärko za opis smeri. 
Opis smeri lahko tudi sestavimo iz veÄ Ärk in tako dobimo daljÅ¡e diagonale.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[d] \ar[dr] \ar[drr] &amp; &amp; \\
  B                      &amp; C &amp; D }
\end{displaymath}
\end{example}

Å&nbsp;e bolj zanimive diagrame dobimo, Äe puÅ¡Äice opremimo z napisi. To doseÅ¾emo
z uporabo obiÄajnih operatorjev za indekse in potence..
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]^f \ar[d]_g &amp;
             B \ar[d]^{g'} \\
  D \ar[r]_{f'}       &amp; C }
\end{displaymath}
\end{example}

Kot vidite, operatorje za napise na puÅ¡Äicah uporabljamo kot v matematiÄnem naÄinu.Edina razlika je, da sedaj potenca (zgornji indeks) pomeni 
"&gt;na vrhu puÅ¡Äice,"&lt; indeks pa pomeni "&gt;pod puÅ¡Äico."&lt; Obstaja Å¡e tretji
operator, pokonÄna Ärta: \verb+|+
Ta operator razporedi tekst \emph{na} puÅ¡Äico.
\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  A \ar[r]|f \ar[d]|g &amp;
             B \ar[d]|{g'} \\
  D \ar[r]|{f'}       &amp; C }
\end{displaymath}
\end{example}

ÄŒe potrebujemo puÅ¡Äico z luknjo, uporabimo \verb!\ar[...]|\hole!.

V nekaterih primerih je potrebno loÄiti 
med razliÄnimi tipi puÅ¡Äic. To lahko naredimo tako,
 da jih opremimo z napisi ali pa spremenimo njihov videz:

\begin{example}
\shorthandoff{"}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\bullet\ar@{-&gt;}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{.&lt;}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{~)}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{=(}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{~/}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{^{(}-&gt;}[rr] &amp;&amp;
                       \bullet\\
\bullet\ar@2{-&gt;}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@3{-&gt;}[rr] &amp;&amp; \bullet\\
\bullet\ar@{=+}[rr]  &amp;&amp; \bullet
}
\end{displaymath}
\shorthandon{"}
\end{example}

Bodite pozorni na razlike med naslednjima dvema diagramoma:

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar[r] 
         \ar@{.&gt;}[r] &amp; 
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

\begin{example}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 \bullet \ar@/^/[r] 
         \ar@/_/@{.&gt;}[r] &amp;
 \bullet
}
\end{displaymath}
\end{example}

Znamenje med poÅ¡evnicama pove, kako 
naj se nariÅ¡e krivulja.
\Xy-pic ponuja mnogo moÅ¾nosti, ki vplivajo
na risanje krivulj. Za veÄ informacij poglejte v dokumentacijo, ki je
priloÅ¾ena paketu.


% \begin{example}
% \begin{lscommand}
% \ci{dum}
% \end{lscommand}
% \end{example}

</pre></body></html>